Teorema della bisettrice con il teorema dei seni

Testo

Dato un triangolo $ABC$, la bisettrice $BK$ dell’angolo in $B$ interseca $AC$ in $K$. Dimostra, usando il teorema dei seni, che $\frac{\overline{AK}}{\overline{AB}}=\frac{\overline{CK}}{\overline{CB}}.$

Soluzione

Sia $\widehat{ABK}=\widehat{KBC}=\beta$, dato che $BK$ è la bisettrice di $\widehat B$.

Nel triangolo $ABK$, il teorema dei seni dà: $\frac{\overline{AK}}{\sin\beta}=\frac{\overline{AB}}{\sin\widehat{AKB}}\quad\Longrightarrow\quad \frac{\overline{AK}}{\overline{AB}}=\frac{\sin\beta}{\sin\widehat{AKB}}.$

Nel triangolo $CBK$, analogamente: $\frac{\overline{CK}}{\overline{CB}}=\frac{\sin\beta}{\sin\widehat{BKC}}.$

Ma $\widehat{AKB}$ e $\widehat{BKC}$ sono angoli adiacenti lungo il segmento $AC$, quindi supplementari: $\widehat{AKB}+\widehat{BKC}=180°$, da cui $\sin\widehat{AKB}=\sin\widehat{BKC}$.

Confrontando le due espressioni si ottiene: $\frac{\overline{AK}}{\overline{AB}}=\frac{\sin\beta}{\sin\widehat{AKB}}=\frac{\sin\beta}{\sin\widehat{BKC}}=\frac{\overline{CK}}{\overline{CB}}.$

$\boxed{\dfrac{\overline{AK}}{\overline{AB}}=\dfrac{\overline{CK}}{\overline{CB}}\quad\blacksquare}$

Collegamenti

Argomenti: Trigonometria triangoli
Concetti: Bisettrice triangolo · Teorema dei seni
Funzioni: Seno
Competenze: Dimostrare · Geometria sintetica
Tipo di esercizio: Dimostrazione