Disequazione omogenea di secondo grado ricondotta a lineare

Testo

Trasforma in forma lineare in seno e coseno con un’opportuna sostituzione e risolvi: $-\sin^{2}x-2\sin x\cos x+3\cos^{2}x-2<0.$

Soluzione

Con $\sin^{2}x=\dfrac{1-\cos 2x}{2}$, $\cos^{2}x=\dfrac{1+\cos 2x}{2}$, $2\sin x\cos x=\sin 2x$ il primo membro diventa $2\cos 2x-\sin 2x-1.$ Posto $t=2x$: $\,2\cos t-\sin t<1$, cioè $\sqrt5\cos(t+\varphi)<1$ con $\varphi=\arctan\tfrac12$. Quindi $\cos(t+\varphi)<\dfrac{1}{\sqrt5}$, da cui $t\in(0{,}6435,\ \tfrac{3\pi}{2})$ (in un periodo). Tornando a $x=\tfrac{t}{2}$ (periodo $\pi$): $\boxed{\,\tfrac12\arctan\tfrac34+k\pi<x<\tfrac{3\pi}{4}+k\pi\ \ (\approx 0{,}322<x<2{,}356)\,}$

Collegamenti

Argomenti: Disequazioni goniometriche
Concetti: Angolo aggiunto · Disequazione goniometrica · Disequazione omogenea · Formule di duplicazione
Funzioni: Coseno · Seno
Metodi: Formule duplicazione
Competenze: Risolvere disequazioni · Usare formule
Tipo di esercizio: Risoluzione disequazione