Disequazione con fattore lineare in seno e coseno e tangente

Testo

Risolvi, studiando il segno dei diversi fattori (in $[0,2\pi)$): $\frac{-\sin\alpha+\sqrt3\cos\alpha+\sqrt3}{-\tan\!\left(\dfrac{\alpha}{2}\right)-\sqrt3}<0.$

Soluzione

Numeratore. $N=\sqrt3\cos\alpha-\sin\alpha+\sqrt3=2\cos\!\left(\alpha+\tfrac{\pi}{6}\right)+\sqrt3$. Allora $N<0\Leftrightarrow\cos\!\left(\alpha+\tfrac{\pi}{6}\right)<-\tfrac{\sqrt3}{2}\Leftrightarrow\alpha\in\left(\tfrac{2\pi}{3},\pi\right)$; $N=0$ in $\alpha=\tfrac{2\pi}{3}$ e $\alpha=\pi$; altrove $N>0$. Denominatore. $D=-\tan\tfrac{\alpha}{2}-\sqrt3<0\Leftrightarrow\tan\tfrac{\alpha}{2}>-\sqrt3$. In $[0,2\pi)$: $D<0$ su $[0,\pi)\cup\left(\tfrac{4\pi}{3},2\pi\right)$, $D>0$ su $\left(\pi,\tfrac{4\pi}{3}\right)$; $D=0$ in $\tfrac{4\pi}{3}$, non definito in $\pi$. Quoziente $<0$ dove $N$ e $D$ hanno segno opposto: sull’intervallo $[0,\tfrac{2\pi}{3})$ ($N>0,D<0$) e su $(\tfrac{4\pi}{3},2\pi)$ ($N>0,D<0$). $\boxed{\,0\le\alpha<\tfrac{2\pi}{3}\ \ \lor\ \ \tfrac{4\pi}{3}<\alpha<2\pi\quad(\text{mod }2\pi)\,}$

Collegamenti

Argomenti: Disequazioni goniometriche
Concetti: Angolo aggiunto · Disequazione goniometrica · Studio del segno · Tangente
Funzioni: Coseno · Seno · Tangente
Competenze: Ragionare per casi · Risolvere disequazioni
Tipo di esercizio: Risoluzione disequazione