Disequazione riconducibile al coseno

Testo

Risolvere la disequazione: $2\cos^2 x - 1 < 0$

Soluzione

Prima via (formula di duplicazione). Si riconosce $2\cos^2 x - 1 = \cos(2x)$, quindi la disequazione diventa $\cos(2x) < 0$. Il coseno è negativo negli archi $\left(\dfrac{\pi}{2}+2k\pi,\ \dfrac{3\pi}{2}+2k\pi\right)$; ponendo $2x$ al posto dell’argomento: $\frac{\pi}{2}+2k\pi < 2x < \frac{3\pi}{2}+2k\pi \iff \frac{\pi}{4}+k\pi < x < \frac{3\pi}{4}+k\pi$

Seconda via (studio diretto). $2\cos^2 x - 1 < 0 \iff \cos^2 x < \dfrac{1}{2} \iff |\cos x| < \dfrac{\sqrt{2}}{2}$. Sulla circonferenza $\cos x = \pm\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ in $\dfrac{\pi}{4}, \dfrac{3\pi}{4}, \dfrac{5\pi}{4}, \dfrac{7\pi}{4}$; la condizione è soddisfatta in $\left(\dfrac{\pi}{4},\dfrac{3\pi}{4}\right)\cup\left(\dfrac{5\pi}{4},\dfrac{7\pi}{4}\right)$, in accordo con la prima via. $\boxed{\;x\in\left(\frac{\pi}{4}+k\pi,\ \frac{3\pi}{4}+k\pi\right)\;}$

Collegamenti

Argomenti: Disequazioni goniometriche
Concetti: Disequazione goniometrica · Formule di duplicazione · Valore assoluto
Funzioni: Coseno
Competenze: Risolvere disequazioni · Usare formule
Tipo di esercizio: Risoluzione disequazione