Disequazioni goniometriche con studio del segno

Testo

Risolvi le seguenti disequazioni:

(a) $\dfrac12-\sin x\le0$

(b) $3\tan x-\sqrt3\le0$

(c) $\left(\sin x-\dfrac{\sqrt2}{2}\right)\left(\cos x-\dfrac12\right)\ge0$

(d) $\dfrac{\dfrac{\sqrt3}{2}-\sin x}{\dfrac{\sqrt3}{2}+\cos x}\le0$

(e) $\sin x\left[\cos\dfrac x2-\dfrac12\right]\ge0$

(f) $\cos x-\sqrt3\sin x\le1$

(g) $\sqrt2\cos x+\sin x\ge\sqrt3$

(h) $2\sin^2 x-3\cos^2 x-4\sin x\cos x\ge0$

Soluzione

(a) Equivale a $\sin x\ge\dfrac12$, quindi $x\in\left[\dfrac\pi6+2k\pi,\ \dfrac{5\pi}6+2k\pi\right]$.

(b) Equivale a $\tan x\le\dfrac{\sqrt3}{3}$: su ogni periodo $\left(-\dfrac\pi2,\dfrac\pi2\right)$ vale $x\in\left(-\dfrac\pi2,\ \dfrac\pi6\right]$, ripetuto con periodo $\pi$.

(c) Il prodotto è $\ge0$ dove i due fattori sono concordi. Si studia il segno di $\sin x\ge\dfrac{\sqrt2}{2}$ (vero per $x\in\left[\dfrac\pi4,\dfrac{3\pi}4\right]$) e di $\cos x\ge\dfrac12$ (vero per $x\in\left[-\dfrac\pi3,\dfrac\pi3\right]$), e si combinano con una tabella dei segni.

(d) La frazione è $\le0$ dove numeratore e denominatore hanno segno discorde (o il numeratore è nullo): $\sin x\le\dfrac{\sqrt3}2$ rende il numeratore $\ge0$, mentre $\cos x>-\dfrac{\sqrt3}2$ rende il denominatore $>0$; si conclude con lo studio del segno sull’intero giro.

(e) $\cos\dfrac x2\ge\dfrac12 \iff x\in\left[-\dfrac{2\pi}3,\dfrac{2\pi}3\right]$; questo intervallo va combinato con il segno di $\sin x$ tramite una tabella dei segni.

(f) Con la formula lineare in seno e coseno, $\cos x-\sqrt3\sin x=2\cos\!\left(x+\dfrac\pi3\right)$, quindi la disequazione diventa $2\cos\!\left(x+\dfrac\pi3\right)\le1$, cioè $\cos\!\left(x+\dfrac\pi3\right)\le\dfrac12$.

(g) L’ampiezza è $\sqrt{(\sqrt2)^2+1^2}=\sqrt3$, quindi $\sqrt2\cos x+\sin x=\sqrt3\cos(x-\varphi)$ con $\tan\varphi=\dfrac1{\sqrt2}$. La disequazione $\sqrt3\cos(x-\varphi)\ge\sqrt3$ equivale a $\cos(x-\varphi)\ge1$, verificata solo nel massimo assoluto: $x=\varphi+2k\pi$.

(h) È una disequazione omogenea di secondo grado in seno e coseno. Applicando le formule di duplicazione si riscrive come $-\dfrac12-\dfrac52\cos2x-2\sin2x\ge0$, riconducibile a una disequazione lineare in $\sin2x$ e $\cos2x$ risolvibile con il metodo dell’angolo aggiunto.

$\boxed{(a)\ x\in\left[\frac\pi6,\frac{5\pi}6\right];\ \ (b)\ \tan x\le\frac{\sqrt3}3;\ \ (f)\ \cos\!\left(x+\frac\pi3\right)\le\frac12;\ \ (g)\ x=\varphi+2k\pi,\ \tan\varphi=\frac1{\sqrt2};\ \ (h)\ -\frac12-\frac52\cos2x-2\sin2x\ge0}$

Collegamenti

Argomenti: Disequazioni goniometriche
Concetti: Disequazione goniometrica · Disequazione goniometrica lettura circonferenza · Equazione omogenea
Funzioni: Coseno · Seno · Tangente
Competenze: Interpretare grafico · Risolvere disequazioni
Tipo di esercizio: Risoluzione disequazione