Le formule parametriche

Ponendo $t=\tan(\alpha/2)$ è possibile esprimere tutte e tre le funzioni goniometriche di $\alpha$ come funzioni razionali della sola $t$. Questo è ciò che rende le formule parametriche così comode nel calcolo.

Proprietà — Parametriche in $t=\tan(\alpha/2)$

Posto $t = \tan(\alpha/2)$, valgono le identità: $\sin\alpha = \frac{2t}{1+t^2},\qquad \cos\alpha = \frac{1-t^2}{1+t^2},\qquad \tan\alpha = \frac{2t}{1-t^2}.$ Sono valide per $\alpha\ne \pi + 2k\pi$, dove $\tan(\alpha/2)$ non è definita.

Dimostrazione

Partiamo dalla formula di duplicazione $\sin\alpha = 2\sin(\alpha/2)\cos(\alpha/2)$ e dividiamo numeratore e denominatore per $\cos^2(\alpha/2)$ (usando $\sin^2+\cos^2=1$ al denominatore): $\sin\alpha = \frac{2\sin(\alpha/2)\cos(\alpha/2)}{\cos^2(\alpha/2) + \sin^2(\alpha/2)} = \frac{2\tan(\alpha/2)}{1 + \tan^2(\alpha/2)} = \frac{2t}{1+t^2}.$ Per il coseno usiamo $\cos\alpha = \cos^2(\alpha/2)-\sin^2(\alpha/2)$ e la stessa divisione: $\cos\alpha = \frac{\cos^2(\alpha/2) - \sin^2(\alpha/2)}{\cos^2(\alpha/2)+\sin^2(\alpha/2)} = \frac{1-\tan^2(\alpha/2)}{1+\tan^2(\alpha/2)} = \frac{1-t^2}{1+t^2}.$ Per $\tan\alpha$ basta dividere le due precedenti. ∎

Collegamenti

Argomenti: Prostaferesi werner
Concetti: Formule di duplicazione · Formule parametriche · Tangente dell angolo meta
Funzioni: Coseno · Seno · Tangente
Competenze: Dimostrare · Usare formule