Testo (a) Dimostra la formula dell’angolo triplo cos3θ≡4cos3θ−3cosθ\cos 3\theta\equiv 4\cos^3\theta-3\cos\thetacos3θ≡4cos3θ−3cosθ. (b) Usala per calcolare il valore esatto di cos3θ\cos 3\thetacos3θ sapendo che cosθ=23\cos\theta=\dfrac{2}{3}cosθ=32. Soluzione (a) cos3θ=cos(2θ+θ)=cos2θcosθ−sin2θsinθ\cos 3\theta=\cos(2\theta+\theta)=\cos2\theta\cos\theta-\sin2\theta\sin\thetacos3θ=cos(2θ+θ)=cos2θcosθ−sin2θsinθ. Con cos2θ=2cos2θ−1\cos2\theta=2\cos^2\theta-1cos2θ=2cos2θ−1 e sin2θ=2sinθcosθ\sin2\theta=2\sin\theta\cos\thetasin2θ=2sinθcosθ: cos3θ=(2cos2θ−1)cosθ−2sin2θcosθ=(2cos2θ−1)cosθ−2(1−cos2θ)cosθ=4cos3θ−3cosθ.\cos3\theta=(2\cos^2\theta-1)\cos\theta-2\sin^2\theta\cos\theta=(2\cos^2\theta-1)\cos\theta-2(1-\cos^2\theta)\cos\theta=4\cos^3\theta-3\cos\theta.cos3θ=(2cos2θ−1)cosθ−2sin2θcosθ=(2cos2θ−1)cosθ−2(1−cos2θ)cosθ=4cos3θ−3cosθ. (b) cos3θ=4(23)3−3⋅23=3227−2=−2227≈−0,8148\cos 3\theta=4\big(\tfrac23\big)^3-3\cdot\tfrac23=\dfrac{32}{27}-2=-\dfrac{22}{27}\approx -0{,}8148cos3θ=4(32)3−3⋅32=2732−2=−2722≈−0,8148. cos3θ=−2227≈−0,8148\boxed{\cos 3\theta=-\tfrac{22}{27}\approx -0{,}8148}cos3θ=−2722≈−0,8148 Collegamenti Argomenti: Formule goniometriche Concetti: Formule di addizione · Formule di duplicazione Funzioni: Coseno Metodi: Formule addizione Competenze: Calcolare · Dimostrare Tipo di esercizio: Calcolo espressioni