Le formule di bisezione

Dalle formule di duplicazione si ricavano le formule di bisezione, che esprimono $\sin(\alpha/2)$ e $\cos(\alpha/2)$ in funzione di $\cos\alpha$.

Proprietà — Formule di bisezione

\cos\!\left(\frac{\alpha}{2}\right) = \pm\sqrt{\frac{1+\cos\alpha}{2}}.$$ Il segno "$\pm$" va scelto caso per caso in base al quadrante in cui si trova $\alpha/2$: se è nel primo o secondo quadrante, $\sin(\alpha/2)\ge 0$; se è nel primo o quarto, $\cos(\alpha/2)\ge 0$. Per la tangente: $$\tan\!\left(\frac{\alpha}{2}\right) = \frac{1-\cos\alpha}{\sin\alpha} = \frac{\sin\alpha}{1+\cos\alpha},$$ forme equivalenti ottenute moltiplicando numeratore e denominatore per il rispettivo coniugato.

Visualizzazione: l’angolo $\alpha/2$ è metà dell’angolo $\alpha$, letto sulla stessa circonferenza goniometrica; le formule di bisezione esprimono seno e coseno di $P_{\alpha/2}$ a partire dalla coordinata $x$ di $P_\alpha$ (cioè $\cos\alpha$).

Collegamenti

Argomenti: Formule goniometriche
Concetti: Circonferenza goniometrica · Formule di bisezione · Formule di duplicazione
Funzioni: Coseno · Seno · Tangente
Metodi: Formule bisezione
Competenze: Usare formule