Dimostrazione della formula di sottrazione del coseno

Tutte le formule di addizione discendono da un’unica identità fondamentale, quella per $\cos(\alpha-\beta)$. La si dimostra calcolando in due modi diversi la stessa distanza sulla circonferenza goniometrica.

Dimostrazione — Formula per $\cos(\alpha-\beta)$

Consideriamo due punti sulla circonferenza goniometrica: $P_\alpha(\cos\alpha;\sin\alpha)$ e $P_\beta(\cos\beta;\sin\beta)$. La distanza $d$ tra essi si calcola in due modi.

Primo modo (coordinate cartesiane):

d^2 &= (\cos\alpha-\cos\beta)^2 + (\sin\alpha-\sin\beta)^2 \\ &= \cos^2\alpha - 2\cos\alpha\cos\beta + \cos^2\beta + \sin^2\alpha - 2\sin\alpha\sin\beta + \sin^2\beta \\ &= 2 - 2(\cos\alpha\cos\beta + \sin\alpha\sin\beta). \end{aligned}$$ **Secondo modo** (teorema del coseno nel triangolo $OP_\alpha P_\beta$, con $O$ origine): i lati $OP_\alpha$ e $OP_\beta$ hanno entrambi lunghezza $1$ (raggio della circonferenza) e l'angolo tra essi è $\alpha-\beta$, quindi $$d^2 = 1 + 1 - 2\cdot 1\cdot 1\cdot \cos(\alpha-\beta) = 2 - 2\cos(\alpha-\beta).$$ Uguagliando le due espressioni di $d^2$ e semplificando: $$\cos(\alpha-\beta) = \cos\alpha\cos\beta + \sin\alpha\sin\beta. \qquad \blacksquare$$

Costruzione per la dimostrazione di $\cos(\alpha-\beta)$: la corda $d=P_\alpha P_\beta$ del triangolo $OP_\alpha P_\beta$ ha lunghezza calcolabile in due modi, da cui discende la formula.

Collegamenti

Argomenti: Formule goniometriche
Concetti: Circonferenza goniometrica · Formule di addizione · Teorema del coseno
Funzioni: Coseno · Seno
Competenze: Dimostrare