Le formule di addizione e sottrazione

Le funzioni $\sin$ e $\cos$ non sono lineari: in generale $\sin(\alpha+\beta)\ne\sin\alpha+\sin\beta$. Occorre quindi una regola apposita per il seno e il coseno di una somma o di una differenza di angoli. Sono le formule di addizione e sottrazione, valide per qualunque coppia di angoli.

Proprietà — Formule di addizione e sottrazione

Per ogni $\alpha,\beta\in\mathbb{R}$:

\cos(\alpha-\beta) &= \cos\alpha\cos\beta + \sin\alpha\sin\beta \\ \cos(\alpha+\beta) &= \cos\alpha\cos\beta - \sin\alpha\sin\beta \\ \sin(\alpha+\beta) &= \sin\alpha\cos\beta + \cos\alpha\sin\beta \\ \sin(\alpha-\beta) &= \sin\alpha\cos\beta - \cos\alpha\sin\beta \\ \tan(\alpha+\beta) &= \frac{\tan\alpha + \tan\beta}{1 - \tan\alpha\tan\beta} \\ \tan(\alpha-\beta) &= \frac{\tan\alpha - \tan\beta}{1 + \tan\alpha\tan\beta} \end{aligned}$$

Si osservi lo schema dei segni: nel coseno il segno si inverte (somma di angoli, differenza di prodotti), mentre nel seno il segno si conserva. Queste sei formule sono il fondamento su cui poggiano tutte le altre di questo capitolo: dalle formule di duplicazione a quelle di bisezione.

Collegamenti

Argomenti: Formule goniometriche
Concetti: Formule di addizione
Funzioni: Coseno · Seno · Tangente
Metodi: Formule addizione
Competenze: Usare formule