Modello sinusoidale della marea

Testo

L’altezza dell’acqua in un porto è modellizzata da $h(t)=4{,}5+2{,}8\sin\!\big(\tfrac{\pi t}{6}\big)$ metri, con $t$ in ore.

• (a) Determina periodo e ampiezza.
• (b) Calcola l’altezza per $t=4$.
• (c) Trova l’altezza massima e il primo istante in cui viene raggiunta.

Soluzione

(a) Periodo $T=\dfrac{2\pi}{\pi/6}=12$ ore; ampiezza $2{,}8$ m attorno al livello medio $4{,}5$ m.

(b) $h(4)=4{,}5+2{,}8\sin\!\big(\tfrac{4\pi}{6}\big)=4{,}5+2{,}8\sin 120^\circ=4{,}5+2{,}8\cdot\tfrac{\sqrt3}{2}\approx 6{,}92$ m.

(c) Il massimo si ha per $\sin\!\big(\tfrac{\pi t}{6}\big)=1$, cioè $\tfrac{\pi t}{6}=\tfrac{\pi}{2}\Rightarrow t=3$ h, con $h_{\max}=4{,}5+2{,}8=7{,}3$ m.

$\boxed{T=12\ \text{h};\ h(4)\approx 6{,}92\ \text{m};\ h_{\max}=7{,}3\ \text{m a }t=3\ \text{h}}$

Collegamenti

Argomenti: Goniometria
Concetti: Ampiezza · Funzioni goniometriche · Periodo
Funzioni: Seno
Competenze: Interpretare grafico · Modellizzare
Tipo di esercizio: Problema modellizzazione