Identità fondamentale con archi complementari

Testo

Verificare l’identità $\sin^2\!\left(\tfrac{3\pi}{8}\right) + \cos^2\!\left(\tfrac{3\pi}{8}\right) = 1$ usando le proprietà degli archi associati.

Soluzione

L’identità fondamentale vale per ogni angolo, ma qui si chiede di verificarla passando dagli archi complementari. Osserviamo che $\tfrac{3\pi}{8} = \tfrac{\pi}{2} - \tfrac{\pi}{8}$, quindi $\sin\!\left(\tfrac{3\pi}{8}\right) = \sin\!\left(\tfrac{\pi}{2}-\tfrac{\pi}{8}\right) = \cos\!\left(\tfrac{\pi}{8}\right),\qquad \cos\!\left(\tfrac{3\pi}{8}\right) = \cos\!\left(\tfrac{\pi}{2}-\tfrac{\pi}{8}\right) = \sin\!\left(\tfrac{\pi}{8}\right).$ Sostituendo: $\sin^2\!\left(\tfrac{3\pi}{8}\right) + \cos^2\!\left(\tfrac{3\pi}{8}\right) = \cos^2\!\left(\tfrac{\pi}{8}\right) + \sin^2\!\left(\tfrac{\pi}{8}\right) = \boxed{1},$ di nuovo per l’identità fondamentale applicata all’angolo $\tfrac{\pi}{8}$.

Collegamenti

Argomenti: Goniometria
Concetti: Archi associati · Identita fondamentale
Funzioni: Coseno · Seno
Competenze: Dimostrare · Usare formule
Tipo di esercizio: Dimostrazione