Trasformazioni di grafici coseno, logaritmo, circonferenza

Testo

È dato il grafico della funzione $y=\cos(\pi x)$. a) Applica la traslazione di $2$ verso l’alto e una dilatazione di fattore $2$ lungo l’asse $x$; scrivi l’equazione finale. b) Applica la stessa trasformazione (traslazione e dilatazione) alla funzione $y=\log_2 x$. c) Applica invece (attenzione, non è la stessa di prima) una traslazione di $2$ verso destra, seguita da una dilatazione di fattore $2$ lungo $x$, alla circonferenza goniometrica $x^{2}+y^{2}=1$.

Soluzione

Una dilatazione di fattore $2$ lungo $x$ equivale a sostituire $x\to \tfrac{x}{2}$. a) Traslazione in alto: $y=\cos(\pi x)+2$; dilatazione: $y=2+\cos\!\left(\dfrac{\pi x}{2}\right)$. b) Allo stesso modo: $y=2+\log_2\!\left(\dfrac{x}{2}\right)$. c) Traslazione a destra di $2$: $(x-2)^{2}+y^{2}=1$; poi dilatazione $x\to \tfrac{x}{2}$: $\left(\dfrac{x}{2}-2\right)^{2}+y^{2}=1$, cioè un’ellisse di centro $(4,0)$ e semiassi $2$ e $1$. $\boxed{\,a)\ y=2+\cos\!\tfrac{\pi x}{2}\,;\quad b)\ y=2+\log_2\!\tfrac{x}{2}\,;\quad c)\ \tfrac{(x-4)^{2}}{4}+y^{2}=1\,}$

Collegamenti

Argomenti: Goniometria
Concetti: Circonferenza goniometrica · Dilatazione · Trasformazioni geometriche · Traslazione
Funzioni: Coseno · Funzione logaritmica
Competenze: Interpretare grafico · Usare formule
Tipo di esercizio: Problema geometrico