Equazioni in coordinate polari

Molte curve hanno un’equazione polare molto più semplice di quella cartesiana. Basta esprimere $\rho$ in funzione di $\theta$ (o imporre una condizione su di essi).

Proprietà — Curve elementari in coordinate polari

• Cerchio centrato nel polo, raggio $a$: $\rho = a$.
• Retta passante per il polo, inclinazione $\theta_0$: $\theta = \theta_0$.
• Retta perpendicolare all’asse polare a distanza $d$: $\rho\cos\theta = d$ (cioè $x = d$).
• Cerchio passante per il polo, di raggio $a$ e centro sull’asse polare: $\rho = 2a\cos\theta$.
• Cardioide: $\rho = a(1 + \cos\theta)$.
• Rosa a $4$ petali: $\rho = a\cos(2\theta)$ ($a>0$).
• Spirale di Archimede: $\rho = a\theta$, $\theta\ge 0$.
• Spirale logaritmica: $\rho = a\,e^{b\theta}$.

Cardioide $\rho = 1+\cos\theta$.

Rosa a $4$ petali $\rho = \cos(2\theta)$.

Spirale di Archimede $\rho = \theta$.

Esempio — Da polare a cartesiano: il cerchio $\rho = 2a\cos\theta$

Moltiplichiamo entrambi i membri per $\rho$: $\rho^2 = 2a\rho\cos\theta$, cioè $x^2+y^2 = 2ax$. Riscrivendo: $(x-a)^2 + y^2 = a^2$: è il cerchio di centro $(a,0)$ e raggio $a$, passante per l’origine.

Esempio — Da cartesiano a polare: la retta $y = x$

Sostituendo $x = \rho\cos\theta$, $y = \rho\sin\theta$: $\rho\sin\theta = \rho\cos\theta$, cioè $\tan\theta = 1$, da cui $\theta = \pi/4$ (una semiretta) oppure $\theta = -3\pi/4$ (l’altra semiretta).

Collegamenti

Argomenti: Goniometria
Concetti: Cardioide · Coordinate polari · Equazione polare · Piano cartesiano · Spirale
Metodi: Equazione polare
Competenze: Tracciare grafico · Usare formule