Come ridurre un angolo al primo quadrante

Le formule degli archi associati si usano quasi sempre nello stesso modo: per ridurre il calcolo di un angolo generico a un angolo del primo quadrante.

In sintesi — Come usarli in pratica

Dato un angolo generico (anche negativo, o maggiore di $2\pi$, o in uno dei quadranti II, III, IV), per calcolarne $\sin/\cos/\tan$:

1. riducilo all’intervallo $[0,2\pi)$ sottraendo multipli di $2\pi$;
2. se è in quadrante II/III/IV, applica l’arco associato appropriato per ricondurlo al primo quadrante;
3. calcolalo usando la tabella dei valori notevoli o la definizione.

Esempio — Un angolo del secondo quadrante

Calcolare $\sin\!\left(\tfrac{5\pi}{6}\right)$.

$\tfrac{5\pi}{6}$ è nel secondo quadrante ($\pi/2 < 5\pi/6 < \pi$). Usiamo gli archi supplementari: $\sin\!\left(\tfrac{5\pi}{6}\right) = \sin\!\left(\pi-\tfrac{\pi}{6}\right) = \sin\!\left(\tfrac{\pi}{6}\right) = \tfrac{1}{2}.$

Esempio — Un angolo negativo

Calcolare $\cos\!\left(-\tfrac{7\pi}{4}\right)$.

Usiamo prima gli archi opposti: $\cos\!\left(-\tfrac{7\pi}{4}\right) = \cos\!\left(\tfrac{7\pi}{4}\right)$. Poi osserviamo che $\tfrac{7\pi}{4} = 2\pi - \tfrac{\pi}{4}$, quindi è nel quarto quadrante: $\cos\!\left(2\pi - \tfrac{\pi}{4}\right) = \cos\!\left(-\tfrac{\pi}{4}\right) = \cos\!\left(\tfrac{\pi}{4}\right) = \tfrac{\sqrt{2}}{2}.$

Collegamenti

Argomenti: Goniometria
Concetti: Angoli notevoli · Archi associati
Competenze: Calcolare · Ragionare per casi · Usare formule