Idea 1: sostituzione

Se un’espressione complicata compare più volte in un’equazione o in una disequazione, si può darle un nome (una nuova variabile), risolvere nella nuova variabile, e poi tornare alla variabile originale. È il primo dei nostri metodi unificanti: molte equazioni apparentemente diverse si riducono, con una sostituzione ben scelta, a una banale equazione di secondo grado.

In sintesi — Casi tipici

• $(x^2)^2 - 5x^2 + 4 = 0$: pongo $t = x^2$ (con $t\ge 0$), risolvo $t^2 - 5t + 4 = 0$, trovo $t = 1$ o $t = 4$, torno a $x$: $x = \pm 1$ o $x = \pm 2$.
• $4^x - 3\cdot 2^x + 2 = 0$: pongo $t = 2^x$ (con $t>0$), risolvo $t^2 - 3t + 2 = 0$.
• $(\log_3 x)^2 - 3\log_3 x + 2 = 0$: pongo $t = \log_3 x$, risolvo $t^2 - 3t + 2 = 0$.
• $\sqrt{x} \cdot (\sqrt{x} - 2) = 3$: pongo $t = \sqrt{x}$ (con $t\ge 0$), risolvo $t(t-2)=3$, cioè $t^2 - 2t - 3 = 0$.

Attenzione — Vincoli sulla nuova variabile

La variabile sostituita eredita dei vincoli di positività (o di altro genere) dalla natura dell’espressione che rappresenta. Non dimenticarli, altrimenti si introducono soluzioni false.

Lo schema del metodo, in quattro passi, è sempre lo stesso: partire dall’equazione complicata in $x$, sostituire, risolvere nella nuova variabile, tornare a $x$ scartando i valori che violano i vincoli.

Lo schema della sostituzione: dalla forma complicata in $x$ alla nuova variabile $t$, e ritorno.

Collegamenti

Argomenti: Metodi unificanti
Concetti: Condizioni di esistenza · Equazione di secondo grado · Sostituzione
Competenze: Ragionare per casi · Risolvere disequazioni · Risolvere equazioni