Cinque equazioni logaritmiche

Testo

Risolvi le seguenti equazioni:

• (a) $\log_{1/2}(x)=-\dfrac{1}{2}$
• (b) $\log_4(x^2)=-2$
• (c) $1-2\log_{1/2}(x)=4+3\log_{1/2}(x)$
• (d) $3\log_2\left(\dfrac{4}{x}\right)+2\log_3(x^2)-\log_{1/2}(4x)=1$
• (e) $2\log\left(2x^2-18\right)+3=0$

Soluzione

(a) Passo all’esponenziale: $x=\left(\tfrac12\right)^{-1/2}=2^{1/2}=\sqrt{2}\approx 1{,}414$ (accettabile, $x>0$).

(b) CE: $x\ne 0$. Da $x^2=4^{-2}=\tfrac{1}{16}$ segue $x=\pm\tfrac14$. Entrambe accettabili: $x=\pm 0{,}25$.

(c) Raccolgo i logaritmi: $1-4=3\log_{1/2}x+2\log_{1/2}x\Rightarrow -3=5\log_{1/2}x\Rightarrow \log_{1/2}x=-\tfrac35$. Quindi $x=\left(\tfrac12\right)^{-3/5}=2^{3/5}\approx 1{,}516$.

(d) CE: $x>0$. Pongo $L=\log_2 x$ e riscrivo tutto in base $2$: $3(2-L)+\frac{4L}{\log_2 3}+(2+L)=1\ \Longrightarrow\ 8+\left(\frac{4}{\log_2 3}-2\right)L=1.$ Da cui $L=\dfrac{-7}{\frac{4}{\log_2 3}-2}\approx -13{,}37$ e quindi $x=2^{L}\approx 9{,}4\cdot 10^{-4}$ (valore accettabile ma volutamente “sporco”: le basi $2$, $3$ e $\tfrac12$ non si combinano in modo semplice).

(e) Il logaritmo è in base $10$. $\log(2x^2-18)=-\tfrac32\Rightarrow 2x^2-18=10^{-3/2}\approx 0{,}0316$, quindi $x^2\approx 9{,}016$ e $x\approx\pm 3{,}003$. CE: $2x^2-18>0\iff |x|>3$: entrambe accettabili.

$\boxed{\text{(a) }\sqrt2;\ \text{(b) }\pm\tfrac14;\ \text{(c) }2^{3/5};\ \text{(d) }x=2^{-7/\left(\frac{4}{\log_2 3}-2\right)}\!\approx 9{,}4\cdot 10^{-4};\ \text{(e) }\pm 3{,}003}$

Collegamenti

Argomenti: Funzione logaritmica
Concetti: Condizioni di esistenza · Equazioni logaritmiche · Logaritmo
Funzioni: Funzione logaritmica
Metodi: Logaritmo equazioni
Competenze: Risolvere equazioni
Tipo di esercizio: Risoluzione equazione