Riscrivere espressioni con proprietà di potenze e logaritmi

Testo

Riscrivi le seguenti espressioni in un modo equivalente (non calcolarle), usando le proprietà delle potenze e dei logaritmi:

• (a) $5^{23}\cdot 5^{17}$
• (b) $\left(13^{8}\right)^{9}$
• (c) $\left(3\cdot\dfrac{4}{5}\right)^{12}$
• (d) $\log(45\cdot 54)$
• (e) $\log\left(\dfrac{45}{54}\right)$
• (f) $\log\left(14^{123}\right)$

Soluzione

(a) Stessa base, si sommano gli esponenti: $5^{23}\cdot 5^{17}=5^{40}$.

(b) Potenza di potenza, si moltiplicano gli esponenti: $\left(13^{8}\right)^{9}=13^{72}$.

(c) Il prodotto va alla stessa potenza: $\left(3\cdot\dfrac{4}{5}\right)^{12}=3^{12}\cdot\dfrac{4^{12}}{5^{12}}$.

(d) Logaritmo di un prodotto: $\log(45\cdot 54)=\log 45+\log 54$.

(e) Logaritmo di un quoziente: $\log\left(\dfrac{45}{54}\right)=\log 45-\log 54$.

(f) L’esponente esce dal logaritmo: $\log\left(14^{123}\right)=123\log 14$.

$\boxed{\text{(a) }5^{40};\ \text{(b) }13^{72};\ \text{(c) }3^{12}\dfrac{4^{12}}{5^{12}};\ \text{(d) }\log 45+\log 54;\ \text{(e) }\log 45-\log 54;\ \text{(f) }123\log 14}$

Collegamenti

Argomenti: Funzione logaritmica
Concetti: Logaritmo · Proprieta dei logaritmi · Proprieta delle potenze
Funzioni: Funzione logaritmica
Competenze: Usare formule
Tipo di esercizio: Calcolo espressioni