Equazioni logaritmiche (III)

Testo

Risolvi le seguenti equazioni, dopo avere stabilito le condizioni di esistenza:

• (a) $\dfrac{2}{3}\log_{1/2}(x)=-4$
• (b) $3-\dfrac{1}{3}\log_3(2-3x)=0$
• (c) $\dfrac{1}{2}\log_5(x)-3=4\log_3(x)$
• (d) $\dfrac{2}{3}\log_{1/4}(x)+\dfrac{5}{2}\log_3(x)=\dfrac{1}{2}$

Soluzione

(a) CE $x>0$. $\log_{1/2}x=-6 \Rightarrow x=\left(\tfrac12\right)^{-6}=2^{6}=64$.

(b) CE $x<\tfrac23$. $\tfrac13\log_3(2-3x)=3 \Rightarrow \log_3(2-3x)=9 \Rightarrow 2-3x=3^{9}=19683 \Rightarrow x=\dfrac{2-19683}{3}=-\dfrac{19681}{3}\approx-6560{,}33$.

(c) CE $x>0$. Passando al logaritmo naturale: $\left(\dfrac{1}{2\ln 5}-\dfrac{4}{\ln 3}\right)\ln x=3 \Rightarrow (-3{,}3303)\ln x=3 \Rightarrow \ln x\approx-0{,}9008$, quindi $x\approx0{,}406$.

(d) CE $x>0$. Con $\log_{1/4}x=-\tfrac12\log_2 x$ e passando al logaritmo naturale si ottiene $1{,}7947\,\ln x=0{,}5 \Rightarrow \ln x\approx0{,}2786$, quindi $x\approx1{,}321$.

$\boxed{x_a=64;\ x_b=-\tfrac{19681}{3}\approx-6560{,}33;\ x_c\approx0{,}406;\ x_d\approx1{,}321}$

Collegamenti

Argomenti: Funzione logaritmica
Concetti: Cambiamento di base · Condizioni di esistenza · Equazioni logaritmiche · Logaritmo
Funzioni: Funzione logaritmica
Metodi: Logaritmo equazioni
Competenze: Risolvere equazioni
Tipo di esercizio: Risoluzione equazione