Equazioni logaritmiche

Per risolvere un’equazione in cui l’incognita compare nell’argomento di un logaritmo si segue uno schema fisso, che parte sempre dalle condizioni di esistenza.

In sintesi — Metodi

1. Scrivere le CE (argomenti $>0$) prima di tutto.
2. Ricondurre a un unico logaritmo per membro usando le proprietà, poi sfruttare l’iniettività: $\log_a f(x) = \log_a g(x) \iff f(x) = g(x)$ (con CE).
3. Sostituzione: se compare $\log_a x$ più volte, porre $t = \log_a x$ e risolvere in $t$.
4. Passaggio all’esponenziale: $\log_a f(x) = k \iff f(x) = a^k$.
5. Verificare sempre le CE alla fine.

Esempio — $\log_3(x+1) + \log_3(x-1) = 1$

CE: $x+1 > 0 \ \wedge\ x-1 > 0 \iff x > 1$.

Unione dei logaritmi (proprietà del prodotto): $\log_3\bigl((x+1)(x-1)\bigr) = 1$, cioè $\log_3(x^2-1) = 1$.

Passaggio all’esponenziale: $x^2 - 1 = 3^1 = 3 \iff x^2 = 4 \iff x = \pm 2$.

Verifica CE: $x = -2$ non soddisfa $x > 1$ (scartata); $x = 2$ sì.

Soluzione: $\boxed{x = 2}$.

Collegamenti

Argomenti: Funzione logaritmica
Concetti: Condizioni di esistenza · Equazioni logaritmiche · Iniettivita · Logaritmo
Funzioni: Funzione logaritmica
Metodi: Logaritmo equazioni
Competenze: Risolvere equazioni