Definizione di logaritmo

L’esponenziale $\exp_a(x) = a^x$ è una funzione biunivoca da $\mathbb{R}$ a $(0;+\infty)$. Per il teorema sull’esistenza dell’inversa possiamo definirne la funzione inversa: è proprio il logaritmo.

Definizione — Logaritmo

Fissata una base $a > 0$, $a \ne 1$, il logaritmo in base $a$ di un numero $y > 0$ è l’unico esponente a cui bisogna elevare $a$ per ottenere $y$: $\log_a(y) = x \iff a^x = y.$ La funzione logaritmo $\log_a:(0;+\infty)\to\mathbb{R}$ è l’inversa dell’esponenziale di base $a$.

Osservazione — Come leggere " $\log$"

$\log_2 8$ si legge “logaritmo in base $2$ di $8$” e vale $3$, perché $2^3 = 8$. Analogamente $\log_{10} 1000 = 3$, perché $10^3 = 1000$, e $\log_{1/2} 8 = -3$, perché $(1/2)^{-3} = 2^3 = 8$. Il logaritmo risponde sempre alla domanda “a quale potenza?”.

Storia — Nepero e Briggs

I logaritmi furono introdotti all’inizio del Seicento dallo scozzese John Napier (italianizzato in Nepero) come strumento per trasformare le moltiplicazioni in addizioni e semplificare i calcoli astronomici. Poco dopo l’inglese Henry Briggs propose l’uso della base $10$, dando origine ai logaritmi “decimali” che per secoli furono tabulati e usati con il regolo calcolatore.

Collegamenti

Argomenti: Funzione logaritmica
Concetti: Funzione inversa · Logaritmo
Funzioni: Funzione esponenziale · Funzione logaritmica
Persone: Henry Briggs · John Napier (Nepero)