Disequazioni esponenziali con le proprietà

Testo

Risolvi le seguenti disequazioni esponenziali:

• (a) $3^x\le 100$
• (b) $9\le\left(\dfrac{2}{3}\right)^x$
• (c) $-\left(\dfrac{3}{4}\right)^{x^2+1}\ge -2$

Soluzione

(a) Base $>1$, funzione crescente: $x\le\log_3 100\approx 4{,}19$.

(b) $\left(\tfrac23\right)^x\ge 9$. Base $<1$: passando al logaritmo il verso si inverte, $x\le\log_{2/3}9\approx -5{,}42$.

(c) Cambio di segno: $\left(\tfrac34\right)^{x^2+1}\le 2$. Poiché $x^2+1\ge 1$, il massimo di $\left(\tfrac34\right)^{x^2+1}$ si ha per $x=0$ e vale $\tfrac34<2$: la disequazione è sempre verificata, $\forall x\in\mathbb{R}$.

$\boxed{\text{(a) }x\le\log_3 100\approx 4{,}19;\quad \text{(b) }x\le\log_{2/3}9\approx -5{,}42;\quad \text{(c) }\forall x\in\mathbb{R}}$

Collegamenti

Argomenti: Funzione esponenziale
Concetti: Logaritmo · Monotonia
Funzioni: Funzione esponenziale
Competenze: Risolvere disequazioni
Tipo di esercizio: Risoluzione disequazione