Due disequazioni esponenziali

Testo

Risolvi le seguenti disequazioni esponenziali:

• (a) $3-\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{2}{3}\right)^x\ge 1$
• (b) $\dfrac{2}{3}\left(\dfrac{1}{2}\right)^{1-x^2}-1\ge 0$

Soluzione

(a) Isolo la potenza: $-\tfrac12\left(\tfrac23\right)^x\ge -2\Rightarrow\left(\tfrac23\right)^x\le 4$. La base è $<1$, quindi il verso si inverte: $x\ge\log_{2/3}4\approx -3{,}42$.

(b) $\left(\tfrac12\right)^{1-x^2}\ge\tfrac32$. La base è $<1$: passando al logaritmo il verso si inverte, $1-x^2\le\log_{1/2}\tfrac32\approx -0{,}585$, quindi $x^2\ge 1{,}585\Rightarrow |x|\ge 1{,}26$. Cioè $x\le -1{,}26\ \vee\ x\ge 1{,}26$.

$\boxed{\text{(a) }x\ge\log_{2/3}4\approx -3{,}42;\quad \text{(b) }x\le -1{,}26\ \vee\ x\ge 1{,}26}$

Collegamenti

Argomenti: Funzione esponenziale
Concetti: Logaritmo · Monotonia
Funzioni: Funzione esponenziale
Competenze: Risolvere disequazioni
Tipo di esercizio: Risoluzione disequazione