Trasformazioni successive di una parabola in ordine

Testo

Considera la parabola $y = x^2 - 4x + 1$. Applica, nell’ordine indicato, le trasformazioni seguenti (ciascuna alla curva ottenuta al passo precedente):

• (a) traslazione di vettore $\vec v = (-1; 3)$;
• (b) dilatazione di fattore $2$ lungo l’asse $y$;
• (c) rotazione di $90^\circ$ in senso antiorario rispetto all’origine.

Soluzione

Base: $y=(x-2)^2-3$.

(a) Con $x\to x+1,\ y\to y-3$: $y-3=(x-1)^2-3\Rightarrow y=(x-1)^2$.

(b) Dilatazione lungo $y$ ($y\to y/2$): $\dfrac{y}{2}=(x-1)^2\Rightarrow y=2(x-1)^2$.

(c) Rotazione $90^\circ$ antioraria $(x,y)\to(-y,x)$, cioè $x\to y,\ y\to -x$: $-x=2(y-1)^2\Rightarrow x=-2(y-1)^2$. È una parabola con asse orizzontale, vertice $(0;1)$, aperta verso sinistra.

$\boxed{\text{(a) } y=(x-1)^2;\ \text{(b) } y=2(x-1)^2;\ \text{(c) } x=-2(y-1)^2}$

Collegamenti

Argomenti: Trasformazioni piano
Concetti: Dilatazione · Parabola · Rotazione · Traslazione
Metodi: Trasformazioni isometrie
Competenze: Geometria analitica · Usare formule
Tipo di esercizio: Problema geometrico