Trasformazioni successive di una parabola

Testo

Considera la parabola $y=x^2-6x+5$. Scrivi la parabola trasformata secondo ciascuna delle trasformazioni (ognuna applicata all’originale):

• (a) traslazione di vettore $\vec{v}=(2;-3)$;
• (b) riflessione rispetto all’asse $x$;
• (c) dilatazione di fattore $3$ lungo $y$;
• (d) rotazione di $30^\circ$ in senso antiorario intorno all’origine.

Soluzione

Base: $y=(x-3)^2-4$, vertice $(3;-4)$.

(a) Sostituendo $x\to x-2,\ y\to y+3$: $y=x^2-10x+18$ (vertice $(5;-7)$).

(b) $y\to -y$: $-y=x^2-6x+5\Rightarrow y=-x^2+6x-5$.

(c) $y\to \dfrac{y}{3}$: $\dfrac{y}{3}=x^2-6x+5\Rightarrow y=3x^2-18x+15$.

(d) Con $\cos30^\circ=\tfrac{\sqrt3}{2}$, $\sin30^\circ=\tfrac12$, si sostituisce $x\to \tfrac{\sqrt3}{2}x+\tfrac12 y$, $y\to -\tfrac12 x+\tfrac{\sqrt3}{2}y$ nell’equazione: $-\tfrac12 x+\tfrac{\sqrt3}{2}y=\left(\tfrac{\sqrt3}{2}x+\tfrac12 y\right)^2-6\left(\tfrac{\sqrt3}{2}x+\tfrac12 y\right)+5.$

$\boxed{\text{(a) } y=x^2-10x+18;\ \text{(b) } y=-x^2+6x-5;\ \text{(c) } y=3x^2-18x+15}$

Collegamenti

Argomenti: Trasformazioni piano
Concetti: Dilatazione · Parabola · Riflessione · Rotazione · Traslazione
Metodi: Trasformazioni isometrie
Competenze: Geometria analitica · Usare formule
Tipo di esercizio: Problema geometrico