Ellisse con assi inclinati di 45 gradi

Testo

Un’ellisse ha centro nell’origine e assi inclinati di $45^\circ$; la sua equazione è $13X^2 - 10XY + 13Y^2 = 144.$

• (a) determina i semiassi;
• (b) scrivi l’ellisse con gli stessi semiassi ma con assi allineati agli assi cartesiani;
• (c) verifica che una rotazione di $45^\circ$ riporta all’equazione data.

Soluzione

(a) Ruotiamo di $45^\circ$ con $X=\dfrac{u+v}{\sqrt2},\ Y=\dfrac{u-v}{\sqrt2}$. Allora $13(X^2+Y^2)=13(u^2+v^2)$ e $-10XY=-5(u^2-v^2)$, da cui $8u^2+18v^2=144 \implies \frac{u^2}{18}+\frac{v^2}{8}=1.$ I semiassi sono $a=\sqrt{18}=3\sqrt2\approx4{,}24$ (lungo la bisettrice $y=x$) e $b=\sqrt{8}=2\sqrt2\approx2{,}83$.

(b) Con assi allineati: $\dfrac{x^2}{18}+\dfrac{y^2}{8}=1$, cioè $4x^2+9y^2=72$.

(c) Partendo da $\dfrac{u^2}{18}+\dfrac{v^2}{8}=1$ ($4u^2+9v^2=72$) e sostituendo $u=\dfrac{x+y}{\sqrt2},\ v=\dfrac{x-y}{\sqrt2}$ si ottiene $2(x+y)^2+\tfrac{9}{2}(x-y)^2\cdot\ldots$; svolgendo, $4(x+y)^2+9(x-y)^2=144$, cioè $13x^2-10xy+13y^2=144$. ✓

$\boxed{a=3\sqrt2,\qquad b=2\sqrt2}$

Collegamenti

Argomenti: Trasformazioni piano
Concetti: Ellisse · Rotazione · Semiassi
Metodi: Trasformazioni isometrie
Competenze: Geometria analitica · Usare formule
Tipo di esercizio: Problema geometrico