Intersezione di una regione parabolica e un rombo

Testo

Considera i due insiemi $A = \{(x;y)\mid y \le -x^2 + 4\}, \qquad B = \{(x;y)\mid |x| + |y| \le 3\}.$

• (a) rappresenta separatamente $A$ e $B$, evidenziando il bordo;
• (b) rappresenta $A \cap B$;
• (c) stabilisci se $P(0;3)$, $Q(-2;0)$, $R(1;-3)$ appartengono ad $A\cap B$.

Soluzione

(a) $A$ è la regione sotto la parabola $y=-x^2+4$ (vertice $(0;4)$, intersezioni asse $x$ in $\pm2$), bordo continuo. $B$ è il rombo di vertici $(\pm3;0)$ e $(0;\pm3)$, bordo continuo.

(b) $A\cap B$ è il rombo $B$ privato della parte che sta sopra la parabola (una piccola calotta superiore).

(c) Verifichiamo entrambe le condizioni:

• $P(0;3)$: $A$? $3\le4$ ✓; $B$? $0+3=3\le3$ ✓ → $P\in A\cap B$.
• $Q(-2;0)$: $A$? $0\le-4+4=0$ ✓; $B$? $2+0=2\le3$ ✓ → $Q\in A\cap B$.
• $R(1;-3)$: $A$? $-3\le-1+4=3$ ✓; $B$? $1+3=4\le3$? No → $R\notin A\cap B$.

$\boxed{P\in A\cap B,\quad Q\in A\cap B,\quad R\notin A\cap B}$

Collegamenti

Argomenti: Funzioni proprieta
Concetti: Operazioni tra insiemi · Parabola · Regione del piano · Valore assoluto
Competenze: Geometria analitica · Ragionare per casi
Tipo di esercizio: Problema geometrico