Prezzo di massimo profitto per i deltaplani

Testo

La tua azienda vende deltaplani, con costo di produzione di $100$ € l’uno. Nel 2025 la legge della domanda fa sì che a un prezzo di $300$ € si vendano $20$ deltaplani al mese, mentre a $500$ € se ne vendano $2$ al mese.

• (a) Determina il prezzo di vendita che garantisce il profitto massimo, e tale profitto massimo mensile.
• (b) Nel 2026 viene introdotta un’imposta del $25\%$: per ogni deltaplano venduto incassi solo $\tfrac34$ del prezzo. Come cambia il prezzo ottimale?

Soluzione

Domanda lineare. Con i punti $(300;20)$ e $(500;2)$ la pendenza è $\dfrac{2-20}{500-300}=-\dfrac{9}{100}$, quindi $q(p)=20-\tfrac{9}{100}(p-300)=47-\tfrac{9}{100}p.$ (a) Il profitto è $\pi(p)=(p-100)\,q(p)=(p-100)\left(47-\tfrac{9}{100}p\right)$: una parabola con concavità verso il basso, che si annulla in $p=100$ e $p=\tfrac{4700}{9}\approx 522{,}2$. Il massimo è nel vertice, a metà tra gli zeri: $p^**=\frac{100+\tfrac{4700}{9}}{2}=\frac{2800}{9}\approx 311{,}11\ \text{€}.$ A quel prezzo $q=47-\tfrac{9}{100}\cdot\tfrac{2800}{9}=19$ e $\pi=\left(\tfrac{2800}{9}-100\right)\cdot 19=\tfrac{36100}{9}\approx 4011{,}11$ €/mese. (b) Con l’imposta il ricavo unitario è $\tfrac34 p$, quindi $\pi(p)=\left(\tfrac34 p-100\right)\left(47-\tfrac{9}{100}p\right)$. Gli zeri sono $p=\tfrac{400}{3}\approx 133{,}3$ e $p=\tfrac{4700}{9}\approx 522{,}2$; il vertice è a $p^**=\frac{\tfrac{400}{3}+\tfrac{4700}{9}}{2}=\frac{2950}{9}\approx 327{,}78\ \text{€}.$

$\boxed{p_{2025}\approx 311{,}11\ \text{€},\quad \pi_{max}\approx 4011{,}11\ \text{€},\quad p_{2026}\approx 327{,}78\ \text{€}}$

Collegamenti

Argomenti: Funzioni proprieta
Concetti: Curva di domanda · Massimo · Parabola
Funzioni: Parabola
Competenze: Modellizzare · Usare formule
Tipo di esercizio: Problema modellizzazione