Iperbole omografica dai due fuochi

Testo

Scrivi l’equazione, sia implicita sia esplicita, di una iperbole omografica con un fuoco $F_1(0;0)$ e l’altro in $F_2(4;4)$.

Soluzione

Il centro è il punto medio dei fuochi: $C(2;2)$. L’asse focale ha pendenza $1$ (coerente con un’iperbole omografica ad asintoti orizzontale/verticale). La semidistanza focale è $c=\tfrac12\,\overline{F_1F_2}=\tfrac12\sqrt{16+16}=2\sqrt2.$ Per un’iperbole equilatera $c=a\sqrt2$, quindi $a=2$ e, dalla relazione $a=\sqrt{2k}$, si ha $k=2>0$ (fuochi sulla bisettrice crescente). Forma implicita: $(x-2)(y-2)=2.$ Forma esplicita: $y=2+\dfrac{2}{x-2}=\dfrac{2x-2}{x-2}$.

$\boxed{(x-2)(y-2)=2\qquad\Longleftrightarrow\qquad y=\frac{2x-2}{x-2}}$

Collegamenti

Argomenti: Iperbole omografica
Concetti: Centro di simmetria · Funzione omografica · Fuochi
Funzioni: Funzione omografica
Metodi: Iperbole canonica
Competenze: Geometria analitica · Usare formule
Tipo di esercizio: Problema geometrico