La quadratura dell'iperbole e il logaritmo

Uno dei risultati più eleganti del Seicento nasce proprio dall’iperbole equilatera $xy = k$, cioè dal grafico della proporzionalità inversa $y = \tfrac{k}{x}$. Il problema che affascinava i matematici dell’epoca era la quadratura: calcolare l’area della regione compresa fra la curva, l’asse delle ascisse e due rette verticali.

Nel 1647, nel monumentale Opus geometricum, il gesuita fiammingo Grégoire de Saint-Vincent scoprì una proprietà notevole di quest’area. Indichiamo con $A(a,b)$ l’area sotto l’iperbole $y = \tfrac{1}{x}$ fra le ascisse $a$ e $b$. Saint-Vincent osservò che, moltiplicando entrambi gli estremi per uno stesso fattore, l’area non cambia: $A(a,b) = A(\lambda a, \lambda b).$ La ragione geometrica è che allungare le ascisse di un fattore $\lambda$ schiaccia le ordinate dello stesso fattore, lasciando invariata l’area. Da qui segue subito la proprietà chiave: $A(1, xy) = A(1, x) + A(1, y).$ In altre parole, se le ascisse crescono in progressione geometrica, le aree corrispondenti crescono in progressione aritmetica. Ma questo è esattamente il comportamento che, pochi decenni prima, John Napier (Nepero) aveva posto a fondamento dei suoi logaritmi.

Fu l’allievo di Saint-Vincent, Alfonso Antonio de Sarasa, a rendere esplicito il legame nel 1649: l’area sotto l’iperbole è un logaritmo. Con il linguaggio moderno, $\int_a^b \frac{dx}{x} = \ln b - \ln a = \ln\frac{b}{a}.$ La curva più semplice dopo la retta racchiude dunque la funzione logaritmo, e la base che ne emerge naturalmente è il numero $e$: per questo si parla di logaritmo naturale.

La storia si chiude nel 1668, quando Nicholas Mercator, nella Logarithmotechnia, ricavò da questa stessa quadratura il celebre sviluppo in serie $\ln(1+x) = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \frac{x^4}{4} + \cdots,$ uno dei primi esempi di serie di potenze prima dell’avvento sistematico del calcolo infinitesimale di Newton e Leibniz.

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Argomenti: Iperbole omografica
Concetti: Area · Iperbole equilatera · Logaritmo · Proporzionalita inversa
Persone: Alfonso Antonio de Sarasa · Grégoire de Saint-Vincent · John Napier (Nepero) · Nicholas Mercator