Tangenti a una circonferenza al variare dell'intercetta

Testo

Considera la retta $y=x+q$ e la circonferenza di centro $C(0;0)$ e raggio $3$.

• (a) Trova l’equazione della circonferenza e disegnala.
• (b) Disegna la retta nel caso $q=0$.
• (c) Trova i due valori di $q$ per cui la retta è tangente alla circonferenza.
• (d) Disegna le due tangenti trovate.

Soluzione

(a) $x^2+y^2=9$.

(c) Metodo della distanza. La retta è $x-y+q=0$; imponendo che la distanza dall’origine valga $R=3$: $\frac{|q|}{\sqrt{1+1}}=3 \implies |q|=3\sqrt2.$ Verifica col $\Delta$: sostituendo $y=x+q$ in $x^2+y^2=9$ si ha $2x^2+2qx+q^2-9=0$, e $\tfrac{\Delta}{4}=q^2-2(q^2-9)=18-q^2=0 \implies q^2=18$. Con $3\sqrt2\approx4{,}243$: $\boxed{\ q=\pm3\sqrt2\approx\pm4{,}24\ }$

Collegamenti

Argomenti: Circonferenza analitica
Concetti: Condizione di tangenza · Equazione circonferenza · Retta · Retta tangente
Metodi: Circonferenza tangenti
Competenze: Geometria analitica
Tipo di esercizio: Problema geometrico