Retta tangente a una circonferenza con i due metodi

Testo

Considera la retta $y=\dfrac{x}{2}+q$ e la circonferenza di centro $C(0;3)$ e raggio $3$.

• (a) Trova l’equazione della circonferenza e disegnala.
• (b) Disegna la retta nel caso $q=0$.
• (c) Trova i due valori di $q$ per cui la retta è tangente alla circonferenza, con il metodo del $\Delta$.
• (d) Trova nuovamente i due valori di $q$ con il metodo della distanza.
• (e) Disegna le due tangenti trovate.

Soluzione

(a) $x^2+(y-3)^2=9 \implies x^2+y^2-6y=0$.

(c) Metodo del $\Delta$. Sostituendo $y=\tfrac{x}{2}+q$: $x^2+\Bigl(\tfrac{x}{2}+q-3\Bigr)^2=9 \implies \tfrac54 x^2+(q-3)x+(q-3)^2-9=0.$ La tangenza richiede $\Delta=0$: $(q-3)^2-4\cdot\tfrac54\bigl[(q-3)^2-9\bigr]=-4(q-3)^2+45=0 \implies (q-3)^2=\tfrac{45}{4}.$ $q=3\pm\frac{3\sqrt5}{2}.$

(d) Metodo della distanza. La retta è $x-2y+2q=0$; la distanza dal centro $C(0;3)$ deve valere $R=3$: $\frac{|0-6+2q|}{\sqrt{1+4}}=3 \implies |2q-6|=3\sqrt5 \implies q=3\pm\frac{3\sqrt5}{2}.$ I due metodi danno lo stesso risultato. Con $\tfrac{3\sqrt5}{2}\approx3{,}354$: $\boxed{\ q_1=3+\tfrac{3\sqrt5}{2}\approx6{,}35, \qquad q_2=3-\tfrac{3\sqrt5}{2}\approx-0{,}35\ }$

Collegamenti

Argomenti: Circonferenza analitica
Concetti: Condizione di tangenza · Equazione circonferenza · Retta · Retta tangente
Metodi: Circonferenza tangenti
Competenze: Geometria analitica
Tipo di esercizio: Problema geometrico