Due circonferenze, centri, raggi e intersezioni

Testo

Considera le due circonferenze di equazione $\gamma_1:\ x^2+y^2+x-2y-5=0,\qquad \gamma_2:\ x^2+y^2-3x+4y-8=0.$

• (a) determina i loro centri;
• (b) determina i loro raggi;
• (c) disegnale;
• (d) trova le loro intersezioni e verifica che corrispondono a quelle del disegno.

Soluzione

(a)–(b) Dal centro $\left(-\tfrac a2,-\tfrac b2\right)$ e $r=\sqrt{\tfrac{a^2}{4}+\tfrac{b^2}{4}-c}$: $C_1\!\left(-\tfrac12;1\right),\quad r_1=\sqrt{\tfrac14+1+5}=\sqrt{6{,}25}=2{,}5;$ $C_2\!\left(\tfrac32;-2\right),\quad r_2=\sqrt{\tfrac94+4+8}=\sqrt{14{,}25}\approx 3{,}775.$

(d) Sottraendo le due equazioni si ottiene l’asse radicale (retta dei punti comuni): $4x-6y+3=0\ \Rightarrow\ x=\frac{6y-3}{4}.$ Sostituendo in $\gamma_1$: $52y^2-44y-83=0$, con $\Delta=19200$, $\sqrt{19200}=80\sqrt3$: $y=\frac{44\pm80\sqrt3}{104}=\frac{11\pm20\sqrt3}{26}\ \Rightarrow\ y_1\approx 1{,}755,\quad y_2\approx -0{,}909.$ I corrispondenti $x$: $x_1\approx 1{,}883$, $x_2\approx -2{,}114$. Intersezioni $\approx(1{,}88;\,1{,}76)$ e $(-2{,}11;\,-0{,}91)$.

$\boxed{C_1(-\tfrac12;1),\ r_1=2{,}5;\ C_2(\tfrac32;-2),\ r_2\approx3{,}775;\ \text{2 intersezioni}}$

Collegamenti

Argomenti: Circonferenza analitica
Concetti: Asse radicale · Distanza punto retta · Retta
Metodi: Circonferenza equazione
Competenze: Geometria analitica · Risolvere equazioni
Tipo di esercizio: Problema geometrico