Dalla definizione all'equazione

Ricaviamo l’equazione della circonferenza partendo dalla sua definizione di luogo geometrico, traducendo in coordinate la condizione $d(P,C)=R$.

Dimostrazione

Dalla definizione di luogo: $\sqrt{(x-x_0)^2 + (y-y_0)^2} = R$. I due membri sono $\ge 0$ ($R>0$ e il primo è una distanza), quindi si può elevare al quadrato senza ulteriori condizioni, ottenendo la forma “vertice”. Sviluppando i quadrati e riordinando: $x^2 - 2x_0 x + x_0^2 + y^2 - 2y_0 y + y_0^2 = R^2$ che, con le posizioni $a=-2x_0$, $b=-2y_0$, $c=x_0^2+y_0^2-R^2$, diventa la forma standard. L’inversione delle formule è immediata. ∎

Il passaggio chiave è che elevare al quadrato non introduce soluzioni estranee, perché entrambi i membri dell’uguaglianza sono già non negativi.

Collegamenti

Argomenti: Circonferenza analitica
Concetti: Distanza tra punti · Equazione circonferenza · Forma standard · Forma vertice · Piano cartesiano
Competenze: Dimostrare · Geometria analitica