Due rette: forme, parallele, perpendicolari e distanza

Testo

Date le rette $r:-\dfrac{4}{3}x-\dfrac{2}{5}y+1=0$ e $s:y=-\dfrac{1}{2}x+\dfrac{3}{2}$:

• (a) trova l’intersezione delle due rette;
• (b) scrivile entrambe sia in forma implicita, sia in forma esplicita;
• (c) trova la retta passante per $B(-8;1)$ e parallela a $r$;
• (d) trova la retta passante per $C(-4;-1)$ e perpendicolare a $s$;
• (e) trova la distanza tra $B$ e la retta $r$.

Soluzione

(b) Conviene partire dalle forme. Da $r:-\tfrac43x-\tfrac25y+1=0$, moltiplicando per $-15$ si ottiene la forma implicita $20x+6y-15=0$; esplicitando, $y=\tfrac52-\tfrac{10}{3}x$, con pendenza $m_r=-\tfrac{10}{3}$. La retta $s:y=-\tfrac12x+\tfrac32$ è già esplicita e ha forma implicita $x+2y-3=0$, pendenza $m_s=-\tfrac12$.

(a) Uguagliando le forme esplicite: $-\tfrac{10}{3}x+\tfrac52=-\tfrac12x+\tfrac32$. Moltiplicando per $6$: $-20x+15=-3x+9\Rightarrow -17x=-6\Rightarrow x=\tfrac{6}{17}$. Allora $y=\tfrac32-\tfrac12\cdot\tfrac{6}{17}=\tfrac{51-6}{34}=\tfrac{45}{34}$. Intersezione $\left(\tfrac{6}{17};\tfrac{45}{34}\right)\approx(0{,}35;1{,}32)$.

(c) Parallela a $r$ (pendenza $-\tfrac{10}{3}$) per $B(-8;1)$: $y-1=-\tfrac{10}{3}(x+8)\Rightarrow 10x+3y+77=0$.

(d) La perpendicolare a $s$ ha pendenza $2$. Per $C(-4;-1)$: $y+1=2(x+4)\Rightarrow y=2x+7$.

(e) Distanza di $B(-8;1)$ da $r:20x+6y-15=0$: $d=\frac{|20(-8)+6(1)-15|}{\sqrt{20^2+6^2}}=\frac{169}{\sqrt{436}}=\frac{169}{2\sqrt{109}}\approx 8{,}09.$

$\boxed{P\left(\tfrac{6}{17};\tfrac{45}{34}\right)\approx(0{,}35;1{,}32),\quad d=\frac{169}{2\sqrt{109}}\approx 8{,}09}$

Collegamenti

Argomenti: Luoghi geometrici
Concetti: Distanza punto retta · Equazione della retta · Intersezione di rette · Retta · Rette parallele · Rette perpendicolari
Competenze: Geometria analitica · Usare formule
Tipo di esercizio: Problema geometrico