Retta in forma frazionaria: parallela, perpendicolare e distanza

Testo

Data la retta $r:\dfrac{2}{5}x+\dfrac{1}{5}y+1=0$:

• (a) trova le intersezioni con gli assi;
• (b) stabilisci se $A(1;-3)$ è un punto della retta;
• (c) trova la retta $s$ perpendicolare a $r$ e passante per $A$;
• (d) trova la retta $t$ parallela a $r$ e passante per l’origine;
• (e) calcola la distanza tra $A$ e la retta $r$.

Soluzione

Moltiplicando $r$ per $5$ si ottiene $2x+y+5=0$, con pendenza $-2$.

(a) Asse $x$ ($y=0$): $2x+5=0\Rightarrow x=-\tfrac52$, punto $\left(-\tfrac52;0\right)$. Asse $y$ ($x=0$): $y=-5$, punto $(0;-5)$.

(b) $2(1)+(-3)+5=4\neq 0$: quindi $A$ non appartiene a $r$.

(c) La perpendicolare ha pendenza $\tfrac12$. Per $A(1;-3)$: $y+3=\tfrac12(x-1)\Rightarrow x-2y-7=0$.

(d) Parallela a $r$ per l’origine: $y=-2x$.

(e) Distanza di $A(1;-3)$ da $2x+y+5=0$: $d=\frac{|2(1)+(-3)+5|}{\sqrt{2^2+1^2}}=\frac{4}{\sqrt5}=\frac{4\sqrt5}{5}\approx 1{,}79.$

$\boxed{\left(-\tfrac52;0\right),\ (0;-5);\quad d=\frac{4\sqrt5}{5}\approx 1{,}79}$

Collegamenti

Argomenti: Luoghi geometrici
Concetti: Distanza punto retta · Equazione della retta · Retta · Rette parallele · Rette perpendicolari
Competenze: Geometria analitica · Usare formule
Tipo di esercizio: Problema geometrico