Asse di un segmento dato

Esempio

Dato il segmento $AB$ con $A(-2;-4)$ e $B(4;1)$, scriverne l’asse.

Condizione di luogo: $\sqrt{(x+2)^2 + (y+4)^2} = \sqrt{(x-4)^2 + (y-1)^2}.$ Entrambi i membri sono distanze, quindi $\ge 0$ “per costruzione”: non servono condizioni di esistenza e si può elevare al quadrato. $(x+2)^2 + (y+4)^2 = (x-4)^2 + (y-1)^2.$ Sviluppando i quadrati, i termini $x^2$ e $y^2$ si cancellano (ecco perché il luogo è una retta!) e rimane: $4x + 4 + 8y + 16 = -8x + 16 - 2y + 1 \implies 12x + 10y + 3 = 0.$ Scritta in forma esplicita: $\boxed{y = -\tfrac{6}{5}x - \tfrac{3}{10}}$.

Il segmento $AB$, il suo punto medio $M$ e l’asse (retta blu), perpendicolare ad $AB$ e passante per $M$.

Collegamenti

Argomenti: Luoghi geometrici
Concetti: Asse di segmento · Distanza tra punti · Equazione della retta · Piano cartesiano · Retta
Competenze: Geometria analitica · Risolvere equazioni