Esempio — due radicali a confronto

Quando entrambi i membri sono radicali, la scorciatoia è immediata: si scrivono le CE su tutti e due gli argomenti e si eleva al quadrato.

Esempio — $\sqrt{x^2-1}\ge \sqrt{x+5}$

CE: $\begin{cases}x^2-1\ge 0 \\ x+5\ge 0\end{cases} \iff \begin{cases}x\le -1 \vee x\ge 1 \\ x\ge -5\end{cases} \iff -5\le x\le -1 \vee x\ge 1.$

Elevamento al quadrato (lecito perché entrambi i membri sono $\ge 0$): $x^2-1\ge x+5 \iff x^2-x-6\ge 0 \iff (x-3)(x+2)\ge 0 \iff x\le -2 \vee x\ge 3.$

Intersezione con le CE:

• con $-5\le x\le -1$: la zona $x\le -2$, ovvero $-5\le x\le -2$;
• con $x\ge 1$: la zona $x\ge 3$.

Soluzione: $\boxed{\,-5\le x\le -2 \ \vee\ x\ge 3\,}$.

Il passaggio delicato non è l’elevamento (qui gratuito), ma ricordarsi di intersecare il risultato con le CE: senza di esse si includerebbero valori in cui una delle due radici non esiste.

Collegamenti

Argomenti: Disequazioni irrazionali
Concetti: Condizioni di esistenza · Disequazione irrazionale · Elevamento al quadrato
Metodi: Scorciatoia membri non negativi
Competenze: Risolvere disequazioni