Trapezio isoscele inscritto in una semicirconferenza

Testo

Un trapezio isoscele $ABCD$ è inscritto in una semicirconferenza di diametro $6$, con la base maggiore $AB$ coincidente con il diametro. Gli angoli adiacenti alla base maggiore sono di $60^\circ$. Determina perimetro e area del trapezio.

Soluzione

Pongo $A(-3;0)$, $B(3;0)$, centro $O(0;0)$, raggio $3$. Il lato $AD$ esce da $A$ con inclinazione $60^\circ$: $D=(-3+t\cos60^\circ;\,t\sin60^\circ)$. Imponendo che $D$ stia sulla circonferenza $x^2+y^2=9$: $\left(-3+\tfrac t2\right)^2+\tfrac{3t^2}{4}=9\ \Longrightarrow\ t^2-3t=0\ \Longrightarrow\ t=3.$ Quindi il lato obliquo $AD=3$, e $D=\left(-\tfrac32;\,\tfrac{3\sqrt3}{2}\right)$, $C=\left(\tfrac32;\,\tfrac{3\sqrt3}{2}\right)$. La base minore è $DC=3$, l’altezza $h=\dfrac{3\sqrt3}{2}$. Perimetro: $AB+BC+CD+DA=6+3+3+3=15$. Area: $\mathcal A=\dfrac12(AB+DC)\,h=\dfrac12(6+3)\cdot\dfrac{3\sqrt3}{2}=\dfrac{27\sqrt3}{4}\approx11{,}69$. $\boxed{2p=15,\qquad \mathcal A=\frac{27\sqrt3}{4}\approx11{,}69.}$

Collegamenti

Argomenti: Circonferenza euclidea
Concetti: Area · Perimetro · Semicirconferenza · Trapezio
Competenze: Calcolare · Geometria sintetica
Tipo di esercizio: Problema geometrico