Rettangolo inscritto di perimetro assegnato

Testo

Considera la circonferenza di raggio $3$ e il rettangolo inscritto. Determina i valori dei lati del rettangolo se vuoi che abbia perimetro pari a $15$.

Soluzione

La diagonale è il diametro: $a^2+b^2=6^2=36$. Dal perimetro $2(a+b)=15$ segue $a+b=\dfrac{15}{2}$. Allora $2ab=(a+b)^2-(a^2+b^2)=\frac{225}{4}-36=\frac{81}{4}\ \Rightarrow\ ab=\frac{81}{8}=10{,}125,$ $(a-b)^2=36-2ab=36-\frac{81}{4}=\frac{63}{4}\ \Rightarrow\ a-b=\frac{\sqrt{63}}{2}=\frac{3\sqrt7}{2}.$ Quindi $a=\frac{1}{2}\!\left(\frac{15}{2}+\frac{3\sqrt7}{2}\right)=\frac{15+3\sqrt7}{4}\approx5{,}73,\qquad b=\frac{15-3\sqrt7}{4}\approx1{,}77.$ $\boxed{a=\frac{15+3\sqrt7}{4}\approx5{,}73,\qquad b=\frac{15-3\sqrt7}{4}\approx1{,}77.}$

Collegamenti

Argomenti: Circonferenza euclidea
Concetti: Diagonale · Rettangolo inscritto · Teorema di pitagora
Competenze: Geometria sintetica · Risolvere equazioni
Tipo di esercizio: Problema geometrico