Rettangolo inscritto di area assegnata

Testo

In una circonferenza di raggio $3$ è inscritto un rettangolo $ABCD$. Determina, giustificandolo con procedimenti anche algebrici, il valore dei lati del rettangolo quando esso ha area pari a $14$.

Soluzione

Un rettangolo inscritto ha per diagonale il diametro: $d=2\cdot3=6$. Detti $a,b$ i lati, per Pitagora $a^2+b^2=36$; inoltre $ab=14$. Uso le identità: $(a+b)^2=a^2+b^2+2ab=36+28=64\ \Rightarrow\ a+b=8,$ $(a-b)^2=a^2+b^2-2ab=36-28=8\ \Rightarrow\ a-b=2\sqrt2.$ Quindi $a=\frac{8+2\sqrt2}{2}=4+\sqrt2\approx5{,}41,\qquad b=4-\sqrt2\approx2{,}59.$ $\boxed{a=4+\sqrt2\approx5{,}41,\qquad b=4-\sqrt2\approx2{,}59.}$

Collegamenti

Argomenti: Circonferenza euclidea
Concetti: Diagonale · Rettangolo inscritto · Teorema di pitagora
Competenze: Geometria sintetica · Risolvere equazioni
Tipo di esercizio: Problema geometrico