Rapporto fra area del cerchio e del rettangolo inscritto

Testo

Un rettangolo è inscritto in una circonferenza; la sua base è $\dfrac{15}{8}$ dell’altezza e il perimetro misura $46$ cm. Determina il rapporto fra l’area del cerchio e l’area del rettangolo.

Soluzione

Siano $b$ la base e $h$ l’altezza, con $b=\dfrac{15}{8}h$. Dal perimetro: $2(b+h)=46\ \Rightarrow\ b+h=23\ \Rightarrow\ \frac{15}{8}h+h=\frac{23}{8}h=23\ \Rightarrow\ h=8,\ b=15.$ La diagonale (diametro) è $d=\sqrt{15^2+8^2}=\sqrt{289}=17$, quindi $r=8{,}5$. $\frac{\mathcal A_\text{cerchio}}{\mathcal A_\text{rett}}=\frac{\pi(8{,}5)^2}{15\cdot8}=\frac{72{,}25\,\pi}{120}=\frac{289\pi}{480}\approx1{,}89.$ $\boxed{\dfrac{\mathcal A_\text{cerchio}}{\mathcal A_\text{rett}}=\dfrac{289\pi}{480}\approx1{,}89}$

Collegamenti

Argomenti: Circonferenza euclidea
Concetti: Area · Diagonale · Rettangolo inscritto
Competenze: Calcolare · Risolvere equazioni
Tipo di esercizio: Problema geometrico