Punto su parabola a distanza assegnata

Testo

Trovare il punto $Q$ sulla parabola $y=4-x^2$ che dista $8$ dal punto $P(6;2)$.

Soluzione

Le incognite sono le coordinate di $Q=(x_Q;\,y_Q)$: due incognite richiedono due equazioni. La prima traduce la condizione di distanza $PQ=8$, la seconda l’appartenenza alla parabola: $\begin{cases} (x_Q-6)^2+(y_Q-2)^2 = 64 \quad\text{(distanza} = 8) \\ y_Q = 4-x_Q^2 \quad\text{($Q$ sulla parabola)} \end{cases}$ Si sostituisce la seconda equazione nella prima, ottenendo un’unica equazione nella sola $x_Q$: $(x_Q-6)^2+\bigl((4-x_Q^2)-2\bigr)^2 = 64,$ cioè un’equazione di quarto grado in $x_Q$, le cui soluzioni reali danno le ascisse dei punti cercati (e, tramite $y_Q=4-x_Q^2$, le ordinate).

Collegamenti

Argomenti: Circonferenza euclidea
Concetti: Distanza punto retta · Retta
Competenze: Geometria analitica · Risolvere sistemi
Tipo di esercizio: Problema geometrico