Torta a rombo con cerchio inscritto rimosso

Testo

Una torta ha la forma di un rombo, con angoli interni di $60^\circ$ e $120^\circ$. Un cameriere traccia il cerchio inscritto nel rombo, di raggio $3$, e lo rimuove dalla torta. Calcola l’area della parte di torta rimanente.

Soluzione

Il raggio del cerchio inscritto in un rombo è metà dell’altezza: $r=\dfrac{h}{2}$, quindi $h=2r=6$. Detto $\ell$ il lato, l’altezza è $h=\ell\sin60^\circ$: $\ell\cdot\frac{\sqrt3}{2}=6\ \Longrightarrow\ \ell=\frac{12}{\sqrt3}=4\sqrt3.$ Area del rombo (base per altezza): $\mathcal A_\text{rombo}=\ell\cdot h=4\sqrt3\cdot6=24\sqrt3\approx41{,}57.$ Area del cerchio: $\pi r^2=9\pi\approx28{,}27$. La parte rimanente è $\mathcal A=24\sqrt3-9\pi\approx41{,}57-28{,}27=13{,}30.$ $\boxed{\mathcal A=24\sqrt3-9\pi\approx13{,}30.}$

Collegamenti

Argomenti: Circonferenza euclidea
Concetti: Area · Cerchio inscritto · Rombo
Competenze: Calcolare · Geometria sintetica
Tipo di esercizio: Problema geometrico