Corde che si intersecano

Testo

Due corde $AB$ e $CD$ si intersecano in un punto $S$ interno alla circonferenza. Sapendo che $\begin{cases} \overline{AB} = 5 \\ SC = \tfrac{1}{3}\,SB \\ DS = 3 \end{cases}$ determinare $SA$, $SB$ e $SC$.

Soluzione

Poniamo $SB = x$, così $SC = \dfrac{x}{3}$ e, poiché $SA + SB = \overline{AB} = 5$, si ha $SA = 5-x$.

Applichiamo il teorema delle corde $SA\cdot SB = SC\cdot SD$: $x\cdot\frac{x}{3} = 3\cdot(5-x) \implies \frac{x^2}{3} = 15-3x.$ Moltiplicando per $3$ e riordinando: $x^2 + 9x - 45 = 0 \implies x = \frac{-9+\sqrt{81+180}}{2} = \frac{-9+\sqrt{261}}{2} \approx 3{,}58.$ (si scarta la radice negativa perché $x=SB>0$). Quindi: $SB = \boxed{\tfrac{-9+\sqrt{261}}{2}\approx 3{,}58}, \quad SA = 5-x \approx \boxed{1{,}42}, \quad SC = \frac{x}{3} \approx \boxed{1{,}19}.$

Collegamenti

Argomenti: Circonferenza euclidea
Concetti: Corda · Potenza di un punto
Metodi: Circonferenza corde
Competenze: Geometria sintetica · Risolvere equazioni
Tipo di esercizio: Problema geometrico