Talete grande, equiscomponibilità e triangolo-parallelogramma

Testo

• (a) Enuncia il teorema grande di Talete.
• (b) Enuncia il concetto di equiscomponibilità.
• (c) Dimostra che un triangolo è equiscomponibile con un parallelogramma che ha la stessa base e altezza uguale alla metà di quella del triangolo.

Soluzione

(a) Teorema grande di Talete. Un fascio di rette parallele, tagliato da due trasversali, determina su di esse segmenti proporzionali: se $a\parallel b\parallel c$ tagliano le trasversali $r$ e $s$ nei punti $A,B,C$ e $A',B',C'$, allora $\frac{\overline{AB}}{\overline{BC}}=\frac{\overline{A'B'}}{\overline{B'C'}}.$

(b) Equiscomponibilità. Due figure piane si dicono equiscomponibili (o equicomposte) se possono essere suddivise in uno stesso numero finito di parti poligonali, a due a due congruenti. Due figure equiscomponibili sono in particolare equivalenti (hanno la stessa area).

(c) Triangolo e parallelogramma. Sia $ABC$ il triangolo, $AB$ la base, $h$ l’altezza da $C$. Siano $M$ ed $N$ i punti medi di $CA$ e $CB$; per il teorema (piccolo) di Talete $MN\parallel AB$ e $MN$ dista da $AB$ esattamente $\dfrac{h}{2}$. Taglio il triangolo lungo $MN$: ottengo il triangolino superiore $CMN$ e il trapezio $ABNM$. Ruoto $CMN$ di $180^\circ$ attorno al punto medio $N$ (di $CB$): $C$ va in $B$, e il triangolino si sistema accanto al trapezio formando un parallelogramma di base $AB$ e altezza $\dfrac{h}{2}$. Il triangolo e il parallelogramma sono composti dalle stesse due parti ($ABNM$ e $CMN\cong$ la sua immagine ruotata): dunque sono equiscomponibili. $\boxed{\text{Triangolo}\ \equiv\ \text{parallelogramma di ugual base e altezza }\tfrac h2\ \Rightarrow\ \mathcal A_\triangle=\tfrac12\,b\,h.}$

Collegamenti

Argomenti: Equivalenza pitagora
Concetti: Equiscomponibilita · Equivalenza · Parallelogramma · Teorema di talete
Competenze: Dimostrare · Geometria sintetica
Tipo di esercizio: Dimostrazione · Enunciato teorema