Incommensurabilità di lato e altezza del triangolo equilatero

Testo

Dimostra che in un triangolo equilatero il lato e l’altezza sono grandezze incommensurabili, cioè che il loro rapporto non è esprimibile mediante un numero razionale.

Soluzione

Sia $\ell$ il lato del triangolo equilatero e $h$ la sua altezza. Come si è visto, l’altezza cade nel punto medio della base e per il teorema di Pitagora $h^2=\ell^2-\left(\frac{\ell}{2}\right)^2=\frac{3\ell^2}{4}\quad\Longrightarrow\quad h=\frac{\sqrt3}{2}\,\ell.$ Il rapporto fra altezza e lato vale quindi $\frac{h}{\ell}=\frac{\sqrt3}{2}.$ Due grandezze sono commensurabili se e solo se il loro rapporto è un numero razionale. Supponiamo, per assurdo, che $h$ e $\ell$ siano commensurabili: allora $\dfrac{\sqrt3}{2}$ sarebbe razionale e, di conseguenza, lo sarebbe anche $\sqrt3=2\cdot\dfrac{\sqrt3}{2}$.

Mostriamo che $\sqrt3$ è irrazionale. Se fosse $\sqrt3=\dfrac{p}{q}$ con $p,q$ interi primi fra loro e $q\neq 0$, elevando al quadrato si avrebbe $p^2=3q^2$. Allora $p^2$ è multiplo di $3$, e poiché $3$ è primo anche $p$ è multiplo di $3$: poniamo $p=3k$. Sostituendo, $9k^2=3q^2$, cioè $q^2=3k^2$, dunque anche $q$ è multiplo di $3$. Ma allora $p$ e $q$ avrebbero il fattore comune $3$, contro l’ipotesi che siano primi fra loro. L’assurdo prova che $\sqrt3$ non è razionale.

Di conseguenza $\dfrac{h}{\ell}=\dfrac{\sqrt3}{2}$ non è razionale: il lato e l’altezza del triangolo equilatero sono incommensurabili. $\;\blacksquare$

Collegamenti

Argomenti: Equivalenza pitagora
Concetti: Altezza · Incommensurabilita · Triangolo equilatero
Competenze: Dimostrare · Geometria sintetica
Tipo di esercizio: Dimostrazione