Il parallelogramma di Varignon è metà del quadrilatero

Testo

Dato un quadrilatero qualsiasi $ABCD$, siano $M$, $N$, $P$, $Q$ i punti medi dei lati $AB$, $BC$, $CD$, $DA$. Dimostra che il quadrilatero $MNPQ$ è un parallelogramma e che esso è equivalente alla metà del quadrilatero $ABCD$.

Soluzione

$MNPQ$ è un parallelogramma. Tracciamo la diagonale $AC$. Nel triangolo $ABC$, il segmento $MN$ unisce i punti medi dei lati $AB$ e $BC$, quindi $MN\parallel AC$ e $\overline{MN}=\tfrac12\overline{AC}$. Nel triangolo $ACD$, il segmento $QP$ unisce i punti medi di $DA$ e $CD$, quindi $QP\parallel AC$ e $\overline{QP}=\tfrac12\overline{AC}$. I lati $MN$ e $QP$ sono allora paralleli e uguali: $MNPQ$ è un parallelogramma.

Confronto delle aree. Il parallelogramma si ottiene togliendo da $ABCD$ i quattro triangoli “d’angolo” $MBN$, $NCP$, $PDQ$, $QAM$. Calcoliamone l’area complessiva. Nel triangolo $ABC$, il triangolo $MBN$ ha i lati $\overline{MB}=\tfrac12\overline{AB}$ e $\overline{BN}=\tfrac12\overline{BC}$ e lo stesso angolo in $B$: è simile ad $ABC$ con rapporto $\tfrac12$, dunque $\mathcal{A}(MBN)=\tfrac14\,\mathcal{A}(ABC).$ Analogamente $\mathcal{A}(PDQ)=\tfrac14\,\mathcal{A}(ACD)$. Sommando, $\mathcal{A}(MBN)+\mathcal{A}(PDQ)=\tfrac14\big(\mathcal{A}(ABC)+\mathcal{A}(ACD)\big)=\tfrac14\,\mathcal{A}(ABCD).$ Ripetendo il ragionamento con la diagonale $BD$ per i triangoli $NCP$ e $QAM$: $\mathcal{A}(NCP)+\mathcal{A}(QAM)=\tfrac14\big(\mathcal{A}(BCD)+\mathcal{A}(ABD)\big)=\tfrac14\,\mathcal{A}(ABCD).$ L’area totale dei quattro triangoli d’angolo è quindi $\tfrac14\,\mathcal{A}(ABCD)+\tfrac14\,\mathcal{A}(ABCD)=\tfrac12\,\mathcal{A}(ABCD).$ Di conseguenza $\mathcal{A}(MNPQ)=\mathcal{A}(ABCD)-\tfrac12\,\mathcal{A}(ABCD)=\tfrac12\,\mathcal{A}(ABCD).$ Il parallelogramma dei punti medi è dunque equivalente alla metà del quadrilatero. $\;\blacksquare$

Collegamenti

Argomenti: Equivalenza pitagora
Concetti: Equivalenza · Quadrilatero
Competenze: Dimostrare · Geometria sintetica
Tipo di esercizio: Dimostrazione