I punti medi dei lati generano quattro triangoli equivalenti

Testo

In un triangolo $ABC$ indica con $D$, $E$, $F$ i punti medi rispettivamente dei lati $BC$, $CA$, $AB$. Dimostra che i segmenti $DE$, $EF$, $FD$ suddividono il triangolo in quattro triangoli tutti equivalenti, ciascuno con area pari a un quarto di quella di $ABC$.

Soluzione

Per il teorema dei punti medi (o teorema della congiungente i punti medi), ogni segmento che unisce i punti medi di due lati è parallelo al terzo lato e lungo la sua metà: $\overline{EF}=\tfrac12\,\overline{BC},\qquad \overline{FD}=\tfrac12\,\overline{CA},\qquad \overline{DE}=\tfrac12\,\overline{AB}.$ Consideriamo i quattro triangoli in cui resta suddiviso $ABC$: i tre “angolari” $AFE$, $FBD$, $EDC$ e quello “centrale” $DEF$.

• Il triangolo $DEF$ ha per lati $\overline{DE}$, $\overline{EF}$, $\overline{FD}$, cioè le metà di $AB$, $BC$, $CA$.
• Il triangolo $AFE$ ha $\overline{AF}=\tfrac12\overline{AB}$, $\overline{AE}=\tfrac12\overline{CA}$ e $\overline{FE}=\tfrac12\overline{BC}$: i suoi tre lati sono le metà dei corrispondenti lati di $ABC$.

Ripetendo il ragionamento per $FBD$ ed $EDC$, si vede che i quattro triangoli hanno i tre lati ordinatamente uguali a $\tfrac12\overline{AB}$, $\tfrac12\overline{BC}$, $\tfrac12\overline{CA}$. Per il terzo criterio di congruenza sono dunque congruenti tra loro e quindi equivalenti. Poiché insieme ricompongono l’intero triangolo $ABC$, ciascuno ha area $\mathcal{A}=\tfrac14\,\mathcal{A}(ABC).$ I quattro triangoli sono pertanto equivalenti. $\;\blacksquare$

Collegamenti

Argomenti: Equivalenza pitagora
Concetti: Equivalenza
Competenze: Dimostrare · Geometria sintetica
Tipo di esercizio: Dimostrazione