La mediana divide il triangolo in due parti equivalenti

Testo

Sia $PQR$ un triangolo qualsiasi e sia $M$ il punto medio del lato $QR$. Dimostra che la mediana $PM$ divide il triangolo in due triangoli equivalenti, cioè che $PQM$ e $PMR$ hanno la stessa area.

Soluzione

Poiché $M$ è il punto medio di $QR$, i due segmenti $QM$ e $MR$ hanno la stessa lunghezza: $\overline{QM}=\overline{MR}=\tfrac12\,\overline{QR}.$ Consideriamo $QM$ come base del triangolo $PQM$ e $MR$ come base del triangolo $PMR$. Poiché $Q$, $M$, $R$ sono allineati, i due triangoli hanno la stessa altezza: la distanza $h$ del vertice $P$ dalla retta $QR$. Le loro aree valgono allora $\mathcal{A}(PQM)=\frac{\overline{QM}\cdot h}{2},\qquad \mathcal{A}(PMR)=\frac{\overline{MR}\cdot h}{2}.$ Essendo $\overline{QM}=\overline{MR}$, le due aree coincidono: $\mathcal{A}(PQM)=\mathcal{A}(PMR)=\tfrac12\,\mathcal{A}(PQR).$ I due triangoli sono dunque equivalenti. $\;\blacksquare$

Collegamenti

Argomenti: Equivalenza pitagora
Concetti: Equivalenza · Mediana
Competenze: Dimostrare · Geometria sintetica
Tipo di esercizio: Dimostrazione